什么是阶? - 高数 ★

阶的概念：★阶的问题，本质问题就是讨论从分子f(x)f(x)f(x)和分母g(x)g(x)g(x)趋向于狗(例如：000或∞infty∞)的速度，谁快谁慢的问题；

1. 口语描述：在x的某种趋向下, 如果f(x)f(x)f(x)比上g(x)g(x)g(x), 这2个函数可以视为00frac{0}{0}00​型, 结果会有3种情况：第1种情况： 非零常数CCC //分母和分子在趋向0的速度上视为相同（肉眼上无法区分了）；第2种情况： 000 //分母比分子趋向0的速度快； 简记：分子高阶；第3种情况： ∞infty∞ //分母比分子趋向0的速度慢； 简记：分子低阶；

注:∞infty∞在考研的范围内，叫做不存在；

2. 公式描述：

3. 书面描述：

注：鉴于日常习惯，同时也为了和视频教程保持一致，我将书上的两个函数α(x)alpha(x)α(x)和β(x)eta(x)β(x)调整为了f(x)f(x)f(x)和g(x)g(x)g(x);

4. 小结假设，在xxx的某种趋向下这里指x→0x o 0x→0:阶：分子f(x)f(x)f(x)和分母g(x)g(x)g(x)比较，看一看分子f(x)f(x)f(x)和分母g(x)g(x)g(x)趋近于0的速度谁快谁慢；同阶：分子f(x)f(x)f(x)和分母g(x)g(x)g(x)比较，分子f(x)f(x)f(x)和分母g(x)g(x)g(x)趋近于0的速度差不多；高阶：分子f(x)f(x)f(x)和分母g(x)g(x)g(x)比较，分子f(x)f(x)f(x)趋近于0的速度比分母g(x)g(x)g(x)趋近于0的速度要快；低阶：分子f(x)f(x)f(x)和分母g(x)g(x)g(x)比较，分子f(x)f(x)f(x)趋近于0的速度比分母g(x)g(x)g(x)趋近于0的速度要慢；

举例：1. 同阶

2. 高阶limx→0x2x1=0lim_{x o 0}{frac{x^2}{x^1}} = 0limx→0​x1x2​=0

从上面的图可以知道：在x→0+x o 0^+x→0+的过程中，显然x2x^2x2趋近于0的速度比x1x^1x1趋近于0的速度要快；

3. 低阶limx→0x1x2=∞lim_{x o 0}{frac{x^1}{x^2}} = inftylimx→0​x2x1​=∞

图还是上面的图，显然在x→0+x o 0^+x→0+的过程中，显然x1x^1x1趋近于0的速度比x2x^2x2趋近于0的速度要慢；

4.小结相对于分母而言：高阶：分子趋近于0的速度快；低阶：分子趋近于0的速度慢；

比阶的意义：在高数中，通过极限状态下的比阶(即：limx→0f(x)g(x)lim_{x o 0}{frac{f(x)}{g(x)}}limx→0​g(x)f(x)​)来表达谁大谁小(即：分子大，还是分母小)；